文章导读
三角形中位线性质鲁教版
中位线
1.中位线概念：
(1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．
注意：
(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它的对边中点的 线段,而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段．
(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段．
(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形,这时梯形的中位线就变成三角形的中位线．
2.中位线定理：
(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
(2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半．
中位线是三角形与梯形中的一条重要线段,由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连,因此,它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
例1 如图2-53所示．△ABC中,AD⊥BC于D,E,F,△ABC的面积．
分析 由条件知,EF,EG分别是三角形ABD和三角形ABC的中位线．利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系,不难求出△ABC的高AD及底边BC的长．
解 由已知,E,F分别是AB,BD的中点,所以,EF是△ABD的一条中位线,所以
由条件AD+EF=12(厘米)得
EF=4(厘米),
从而 AD=8(厘米),
由于E,G分别是AB,AC的中点,所以EG是△ABC的一条中位线,所以
BC=2EG=2×6=12(厘米),
显然,AD是BC上的高,所以
例2 如图 2-54 所示．△ABC中,∠B,∠C的平分线BE,CF相交于O,AG⊥BE于G,AH⊥CF于H．
(1)求证：GH‖BC；
(2)若AB=9厘米,AC=14厘米,BC=18厘米,求GH．
分析 若延长AG,设延长线交BC于M．由角平分线的对称性可以证明△ABG≌△MBG,从而G是AM的中点；同样,延长AH交BC于N,H是AN的中点,从而GH就是△AMN的中位线,所以GH‖BC,进而,利用△ABC的三边长可求出GH的长度．
(1)证 分别延长AG,AH交BC于M,N,在△ABM中,由已知,BG平分∠ABM,BG⊥AM,所以
△ABG≌△MBG(ASA)．
从而,G是AM的中点．同理可证
△ACH≌△NCH(ASA),
从而,H是AN的中点．所以GH是△AMN的中位线,从而,HG‖MN,即
HG‖BC．
(2)解 由(1)知,△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH,所以
AB=BM=9厘米,AC=CN=14厘米．
又BC=18厘米,所以
BN=BC-CN=18-14=4(厘米),
MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．
从而
MN=18-4-9=5(厘米),
说明 (1)在本题证明过程中,我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一(即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线)性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线,则这条平分线也是对边的中线,这个三角形是等腰三角形”．
(2)“等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线,则这个三角形是等腰三角形,这条平分线垂直于对边”．同学们不妨自己证明．
(3)从本题的证明过程中,我们得到启发：若将条件“∠B,∠C的平分线”改为“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分线”(如图2-55所示),或改为“∠B,∠C的外角平分线”(如图2-56所示),其余条件不变,那么,结论GH‖BC仍然成立．同学们也不妨试证．
例3 如图2-57所示．P是矩形ABCD内的一点,四边形BCPQ是平行四边形,A′,B′,C′,D′分别是AP,PB,BQ,QA的中点．求证：A′C′=B′D′．
分析 由于A′,B′,C′,D′分别是四边形APBQ的四条边AP,PB,BQ,QA的中点,有经验的同学知道A′B′C′D′是平行四边形,A′C′与B′D′则是它的对角线,从而四边形A′B′C′D′应该是矩形．利用ABCD是矩形的条件,不难证明这一点．
证 连接A′B′,B′C′,C′D′,D′A′,这四条线段依次是△APB,△BPQ,△AQB,△APQ的中位线．从而
A′B′‖AB,B′C′‖PQ,
C′D′‖AB,D′A′‖PQ,
所以,A′B′C′D′是平行四边形．由于ABCD是矩形,PCBQ是平行四边形,所以
AB⊥BC,BC‖PQ．
从而
AB⊥PQ,
所以 A′B′⊥B′C′,
所以四边形A′B′C′D′是矩形,所以
A′C′=B′D′． ①
说明 在解题过程中,人们的经验常可起到引发联想、开拓思路、扩大已知的作用．如在本题的分析中利用“四边形四边中点连线是平行四边形”这个经验,对寻求思路起了不小的作用．因此注意归纳所以,积累经验,对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的．
例4 如图2-58所示．在四边形ABCD中,CD＞AB,E,F分别是AC,BD的中点．求证：
分析 在多边形的不等关系中,容易引发人们联想三角形中的边的不形中构造中位线,为此,取AD中点．
证 取AD中点G,连接EG,FG,在△ACD中,EG是它的中位线(已知E是AC的中点),所以
同理,由F,G分别是BD和AD的中点,从而,FG是△ABD的中位线,所以
在△EFG中,
EF＞EG-FG． ③
由①,②,③
例5 如图2-59所示．梯形ABCD中,AB‖CD,E为BC的中点,AD=DC+AB．求证：DE⊥AE．
分析 本题等价于证明△AED是直角三角形,其中∠AED=90°．
在E点(即直角三角形的直角顶点)是梯形一腰中点的启发下,添梯形的中位线作为辅助线,若能证明,该中位线是直角三角形AED的斜边(即梯形另一腰)的一半,则问题获解．
证 取梯形另一腰AD的中点F,连接EF,则EF是梯形ABCD的中位线,所以
因为AD=AB+CD,所以
从而
∠1=∠2,∠3=∠4,
所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE的内角和等于180°)．从而
∠AED=∠2+∠3=90°,
所以 DE⊥AE．
例6 如图2-60所示．△ABC外一条直线l,D,E,F分别是三边的中点,AA1,FF1,DD1,EE1都垂直l于A1,F1,D1,E1．求证：
AA1+EE1=FF1+DD1．
分析 显然ADEF是平行四边形,对角线的交点O平分这两条对角线,OO1恰是两个梯形的公共中位线．利用中位线定理可证．
证 连接EF,EA,ED．由中位线定理知,EF‖AD,DE‖AF,所以ADEF是平行四边形,它的对角线AE,DF互相平分,设它们交于O,作OO1⊥l于O1,则OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位线,所以
即 AA1+EE1=FF1+DD1．
练习十四
1．已知△ABC中,D为AB的中点,E为AC上一点,AE=2CE,CD,BE交于O点,OE=2厘米．求BO的长．
2．已知△ABC中,BD,CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线,AH⊥BD于H,AF⊥CE于F．若AB=14厘米,AC=8厘米,BC=18厘米,求FH的长．
3．已知在△ABC中,AB＞AC,AD⊥BC于D,E,F,G分别是AB,BC,AC的中点．求证：∠BFE=∠EGD．
4．如图2-61所示．在四边形ABCD中,AD=BC,E,F分别是CD,AB的中点,延长AD,BC,分别交FE的延长线于H,G．求证：∠AHF=∠BGF．
5．在△ABC中,AH⊥BC于H,D,E,F分别是BC,CA,AB的中点(如图2-62所示)．求证：∠DEF=∠HFE．
6．如图2-63所示．D,E分别在AB,AC上,BD=CE,BE,CD的中点分别是M,N,直线MN分别交AB,AC于P,Q．求证：AP=AQ．
7．已知在四边形ABCD中,AD＞BC,E,F分别是AB,CD
一部手机的寿命是多久，你多久会换一部手机
感谢您的阅读！千元机：三年以上；国产高端机：一年以上；iphone手机：三年以上。这种排序并不是根据手机的硬件配置来的，而是根据使用情况，来进行划分的。
为什么千元机可以用三年以上？
比如，我手中的这款红米3s，这款手机从购买到现在已经有两年多的时间，而且，这款手机目前也非常流畅，继续使用到三年，应该没有问题。骁龙430处理器，4000毫安时，电池让这款手机的性能得到保障。为什么会说，它能够用到三年以上呢？
因为，我们在购买千元机的时候，知道它本质是千元机，处理器性能并不会太强，续航能力也非常的高，所以，我们在使用的时候不会去折腾它，正因为我们知道它的性能，所以，不会下载一些高要求的游戏，或者是多下载APP，更不会没事去root。反而，这种正常使用，让这款手机能够保持长久的寿命。
为什么国产高端机只能使用一年以上？
国产高端机价格在2000~3000元左右。而购买国产高端机的用户，因为知道高端机的性能比较强劲，所以，他们使劲的折腾。下载各类游戏，下载各种APP，没事刷个机。
因为大家总觉得手机性能高，所以，我们反而不会去爱惜它，在使用的时候就会随心所欲。
iPhone手机为什么可以使用三年以上？
iPhone手机本身的性能比较强劲，而最主要的是iOS系统的运行机制，让这款手机不容易卡顿。而且，库克也承认，iPhone电池不行的时候会对手机进行降频。
因此，一般使用iPhone手机的人，都会使用的时间比较长，而且现在可以更换电池来提升手机的性能，让手机的寿命变得更长。还有个最关键的点，iPhone手机的价格比较昂贵，所以，我们买手机的时候可能会考虑到使用时间。
日本人真的很冷漠吗
你好，我是九五吉祥，在日二十多年，我来回答你的问题。
日本人真的很冷漠吗？刚接触日本人时，觉得他们很冷漠，他们大多数不会主动搭讪，不会无故插嘴，也不会主动问你怎么样怎么样，更不会过问或干涉别人私事，像什么你太胖，你穿的太少，你不让座，你不结婚，你改名换姓之类之类，几乎都会被忽视。
比方说，一个男人穿着女装出门，他的邻居见了，也只会看一眼后就移开目光，最多可能心里奇怪一下，肯定不会去问，去围观，去拍照，总之包容性很强。
时间长了会喜欢上这种冷漠，因为只要不给人添麻烦，谁都可以彰显自己的个性和自由，40不结婚也没关系，朋友和同事不会问不会做媒。
从这种包容和距离感来看，能避免许多尴尬，“我不说你不问”，在同事朋友和陌生人之间，应该是属于最让人舒服的状态了吧。
但是日本人冷漠的另一面是，如果有求于他们，一般情况下会得到帮助，比如说问路，绝大多数日本人会耐心仔细的告知，有的甚至会用车送过去，或者陪着走的目的地，很少被敷衍。
朋友之间如果有什么事，问他或寻求帮助时，也绝大多数有始有终有交代，能帮助的他们会尽力，不能帮忙的也会相告无能为力，一般情况下不会说一句我试试，然后没下文，相对要简单得多。
还有日本人受到帮助时，还礼是非常快的，大多数是次日或三五天内会买个礼物或请吃饭之类，他们不会有“我欠个人情，下次找机会还”这种观念。
去年我的一个同事结婚，大家凑份子，每人3000日元。他婚礼结束上班当天就回礼，每人一盒法国点心，价值2000多日元。
所以我宁愿将日本人的这种冷漠，解释成距离感和包容。
函数的本质是什么
先给答案：函数的本质，是揭示事物的对立统一规律。没有哪个规律可以跳出对立统一法则，也没有哪个规律不可以函数表述。
数学是物理的武器；函数是数学的灵魂。有了函数，就有了科学与技术的辉煌成就。函数表达力是科研人的生命力，函数表达式是科学与技术的第一标签。以下分享函数的解读。
函数，有两个语境，其一泛指函数思维(方法论)，其二特指应[因]变量(dependent)。
函数的英文function，本意是“功能”。似乎看不出功能与函数有什么联系。这里的逻辑链是酱紫的：
功能→效能→效应→对应→呼应→反映→映射→函数，即自变量与因变量的一一对应关系，这是函数方法的基本含义，即函数的外延。
在反映变量之间的对应关系时，有一个极为重要的核心概念——系数(或当量)。
什么叫系数？系数的英文是coefficience。字面意思是“协同效应值”或“协变常数”。
系数反映变量之间关系所适用的特定条件或其它相对稳定的参量。换言之，变量之间的关系，取决于特定条件。
例1. 波速=波长×波频，即：c=λf，或λ=c/f，函数意思是：波长与波频成反比。
系数c叫速度常数，取决于不同的介质。在真空介质中，有光速：c=299794285米/秒。在空气介质中，有音速：c=(341+0.6T)米/秒。
例2. 质子的惯性势能与真空场(引力波)频率成正比，即：Ep(=mc²)=hf。
这有点泛函(函数套函数)味道：惯性势能与粒子质量成正比，与粒子质量场的频率成正比。
这里有两个系数：c²与h。c²强调粒子必须以光速自旋，普朗克常数h强调唯有亚原子才适合这个公式。
函数的标记是f()，有时干脆简化为f。也可用其它字母表示，如：波函数ψ(x,t)或ψ。
f(x)叫一元或一维函数，f(x,y)叫二元或二维函数，f(r,θ)=re^iθ叫复变函数。f(g())叫复合函数或泛函=函数的函数(functional(function))。M(z)叫莫比乌斯函数。f(x)=limsinx/x叫极限函数，f(sinx,cosx)叫傅里叶函数，f(dx)叫微分函数，f(a,b)=ʃf(x)dx，叫定积分函数。
对现象或效应的变量关系，用物理逻辑解释清楚，设定变量符号与量纲，指出引用函数的出处，通过严密的数学推导，最终给出函数关系式，这是科研人起码的基本功。
函数关系表达式，简称函数式，也叫解析式、公式、方程。英文equation本意是对等。理解函数式的物理意义有时是很难的。
例3. 薛定谔方程或函数：i(h/2π)dψ/dt=Hψ，意义：①i=-1½单位1虚数化即逆时针旋转½π，②h/2π是半径化普朗克常数，③量子波函数ψ(x,y,z,t)，④H=H(ijk)=ix’+jy’+kz’是三维基矢(i,j,k)的1阶偏导数的矢量和。
函数是一种关系。关系是复杂的。历时性关系，叫纵向关系。共时性关系，叫横向关系。
函数关系的异名同义说法有：逻辑关系、因果关系、对应关系、量化关系、定量关系、当量关系、量纲关系、映射关系、投影关系、迭代关系(递推)、拓扑关系、辩证关系或对立统一关系或超对称关系(supersymmetry)。
迭代函数(iteration)是尤其用于在分形学和动力学中深入研究的软件系统工具，是重复的与自身复合的周期函数，本质上依然是对立统一法则。
例4. 全面质量管理理论的PDCA循环单元，是一个从设计(plan)到行动(do)到控制(control)到实现(action)的抽象过程。设计与实现是对立统一的节点(P*A)：PDCA→PDCA→PDCA……
例5. Fibonacci Sequence斐波那契数列是数0、1、1、2、3、5、8、13…可做迭代函数化的操作，定义为： f(0)=0，f(1)=1; f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n≥2,n∈N)。
拓扑关系是基于连通性的抽象性的投影关系，是把“万变不离其宗”解读为函数关系，尤其是把高维关系投影为低维关系，高维与低维也可以理解为一种对立统一关系。
▲就拓扑关系而言，魔鬼与神仙与各色人等，没什么两样。SO EVERYBODY IS AN ACTOR ON THE WORLD.
例6.我们看到的太阳，总是三维的太阳发射的光在肉眼中的二维投影，感觉的“圆盘”与真实的“圆球”是一种超对称的投影关系。
例7. 把三维的电子云分布，拓扑(投影)为二维的电子云分布，进而大大简化复杂性。
超对称关系，当然包括迭代关系与拓扑关系，也是把“对立统一规律”解读为函数关系。
对立统一规律泛指：互为因果、相辅相成、相互制衡。超对称思维是物理逻辑的最高境界。
例8. 万有引力F(m,R)=Gm₁m₂/R²中，分子(m₁m₂)与分母(R²)是质量乘积效应与真空场的超对称。G是超对称系数。
例9. 在库仑定律F(q,R)=kq₁q₂/R中，分子(q₁q₂)与分母(R²)是电荷效应与真空场效应之间的超对称。k是超对称系数。
例10. 在热力学第一定律Ek(=½mv²)=1.5kT中，左边动能½mv²与右边温度(T)是超对称，k是玻尔兹曼常数或超对称系数。
例11. 复函数z(r,θ)=re^iθ，同样蕴含了超对称关系。在用复平面z(r,θ)描述欧氏二维空间某个元素时，复函数的模变量r的几何意义是该元素的径向伸缩(简称伸)，复函数的角变量θ的几何意义是该元素的切向扭转(简称扭)。
复函数的伸与扭是一种超对称关系。这不禁使我们联想到，电子自旋(扭)由于轴向转动惯量不均衡必然导致轴倾斜而发生进动(伸)；
与此同时，电子的切向运动反映电子惯性离心力(伸)与电子的绕核运动(扭)，是一种相互制衡的超对称关系，蕴含的是对立统一法则。
▲如果这是一个星系空间元素分布的全局性景观，那么我们可以写出一个简明扼要的函数。
结语
人类认识事物的结构分布与运动变化，归根结底，是在寻找一种关系。对关系量化处理的形式就是函数。
在数学家眼里，函数是自变与应变之间的一一对应的关系；在物理学家眼里，函数是描述效应的方程；在哲学家眼里，函数折射的是超对称关系或对立统一法则。
你是怎样看待5G手机的
大家好，我是 @你听好我来说 ，很乐意解答你的问题，也希望大家能多多关注，评论，点赞和转发。
我是不推荐，现在购买5g手机。因为：
1.基站未普及，你日常居住的地方是否建设了5g基站。
2.应用场景少，你对网速到底有什么样的要求？你在什么样的情况下会用到5G？5G相比WiFi会给你带来更好的体验吗？
现在5g手机带给我们的，除了刷新快，真的没有什么其他应用场景了。
3.套餐费贵，这个就不用多说了，相信大家都懂。
“人闲桂花落，夜静春山空”，桂花的花期是
王维的《鸟鸣涧》是一首描写春夜山间异常寂静的妙诗。“人闲桂花落，夜静春山空”中的桂花是一种冬开春落的桂花。这两句的意思是闲静中才注意到桂花在坠落，夜静时更觉春山空旷，以只有桂花坠落来烘托春山的寂静无哗；后两句“月出惊山鸟，时鸣春涧中”以月出而使得山鸟惊鸣，极写春山月夜幽静的景色。这首小诗构思精巧，以花落、月出、鸟鸣等动景，映衬春山的静谧，让人从中充分领略到大自然的精美，获得独特的美的享受。
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